theory 7

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются концами отрезка.

Луч - часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой, которую называют началом.

Угол - геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки;

лучи называются сторонами угла, а точка - вершиной.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну

Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой

Если угол неразвернутый, то одна из частей, на которые угол делит плоскость, называется внутренней, а другая - внешней областью этого угла.

Сравнивание отрезков и углов

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Середина отрезка - точка отрезка, которая делит его на два равных отрезка.

Биссектриса угла - луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один

От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Измерение углов

Градусная мера угла - положительное число, которое показывает,
сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Равные углы имеют равные градусные меры.

Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Развернутый угол равен 180°

Прямой угол равен 90°

Острый угол меньше 90°

Тупой угол больше 90° и меньше 180°

Смежные углы - два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Свойство:сумма смежных углов равна 180°

Вертикальные углы - два угла, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого.

Свойство:вертикальные углы равны

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые - 2 пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла

Две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны

Треугольники

Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, сединяющих эти точки;

точки называют вершинами, а отрезки - сторонами.

Периметр - сумма длин всех сторон.

Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке

Равнобедренный треугольник. Свойства и признаки

Свойства равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием.

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним

Признаки равнобедренного треугольника

Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые. Свойства и признаки

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6

внутренние односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечии двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия:

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

3. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Свойство: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой

Остроугольный треугольник - треугольник, в котором все три угла острые

Тупоугольный треугольник - треугольник, в котором один из углов тупой

Прямоугольный треугольник - треугольник, в котором один из углов прямой