theory 9

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором.

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Если два ненулевых коллинеарных вектора направлены одинаково, то они называются сонаправленными, если противоположно, то противоположно направленными.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Если точка А - начало вектора a⃗ , то говорят что вектор a⃗ отложен от точки А.

От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору a⃗ , и притом только один.

Правило треугольника:

Пусть a⃗ и b⃗ - два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор AB⃗, равный a⃗. Затем от точки В отложим вектор BC⃗, равный b⃗. Вектор AC⃗ называется суммой векторов a⃗ и b⃗.

Для любого вектора a⃗ справедливо равенство a⃗ + 0⃗ = a⃗.

Для любых векторов a⃗, b⃗ и c⃗ справедливы равенства:

a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ (переместительный закон).

(a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)(сочетательный закон).

Правило многоугольника

На рисунке показано построение суммы векторов a⃗, b⃗, b⃗: от произвольной точки А отложен вектор AB⃗ = a⃗, затем от точки В отложен вектор BC⃗= b⃗ и, наконец, от точки С отложен вектор CD⃗ = с⃗. В результате получается вектор AD⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗.

Разностью векторов a⃗ и b⃗ называется такой вектор, сумма которого с вектором b⃗ равна вектору a⃗.

Вектор a⃗₁ называется противоположным вектору a⃗, если эти векторы имеют равные длины и противоположно направлены.

Теорема: для любых векторов a⃗ и b⃗ справедливо равенство a⃗ - b⃗ = a⃗ + (-b⃗).

Построение разности

Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки вектор ОА⃗ = а⃗.

Затем от точки А отложим вектор АВ⃗ = -b⃗

По теореме о разности векторов а⃗ - b⃗ = а⃗ + (-b⃗), поэтому
а⃗ - b⃗ = OA⃗ + АB⃗ = ОВ⃗, т.е. вектор OB⃗ искомый.

Произведением ненулевого вектора a⃗ на число k называется такой вектор b⃗, длина которого равна |k| * |a⃗|, причем векторы a⃗ и b⃗ сонаправлены при k ≥ 0 и противоположно направлены при k < 0.

Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

Для любого числа k и любого вектора a⃗ векторы a⃗ и k a⃗ коллинеарны.

Для любых чисел k, l и любых векторов a⃗ и b⃗ справедливы равенства:

1.(kl) a⃗ = k (l a⃗) (сочетательный закон)

2.(k + l) a⃗ = k a⃗ + l a⃗ (первый распределительный закон)

3.k( a⃗ + b⃗) = k a⃗ + k b⃗ (второй распределительный закон)

Средняя линии трапеции - отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Метод координат

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Лемма: если векторы a⃗ и b⃗ коллинеарны и a⃗ ≠ 0⃗, то существует такое число k, что b⃗ = ka⃗

Теорема: На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффиценты разложения определяются единственным образом.

Координаты равных векторов соответственно равны

--- Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

--- Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

--- Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Координаты точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Уравнение окружности

В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(x₀; y₀) имеет вид:

(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²

Уравнение прямой

Уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

y = kx + d

k - угловой коэффицент прямой.

Две параллельные прямые, не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффиценты.

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Для любого угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° синусом угла α называется ордината y точки M, а косинусом угла α - абсцисса x точки M.

Тангенсом угла α (α ≠ 90°) называется отношение sin α к cos α

Котангенсом угла α (0° ≤ α ≤ 180°) называется отношение cos α к sin α

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

при 0° ≤ α ≤ 90°:
sin (90° - α) = cos α;
cos (90° - α) = sin α

при 0° ≤ α ≤ 180°:
sin (180° - α) = sin α;
cos (180° - α) = - cos α

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin A = b sin B = c sin C = 2R

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними.

a² = b² + c² - 2bc cos A

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, когда эти векторы перпендикулярны.

Теорема: В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов a⃗{x₁; y₁} и b⃗{x₂; y₂} выражается формулой a⃗ * b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂.

Следствие 1.

Ненулевые векторы a⃗{x₁; y₁} и b⃗{x₂; y₂} перпендикулярны, когда x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Следствие 2.

Косинус угла α между ненулевыми векторами a⃗{x₁; y₁} и b⃗{x₂; y₂} выражается формулой

cos α = x₁x₂ + y₁y₂ √ x₁² + y₁² · √ x₂² + y₂²

Для любых векторов а⃗, b⃗, с⃗ и любого числа k справедливы соотношения:

1. a⃗² ≥ 0, причём а⃗² > 0 при а⃗ ≠ 0⃗.

2. а⃗ * b⃗ = b⃗ * а⃗ (переместительный закон).

3. (а⃗ + b⃗) * с⃗ = а⃗ * с⃗ + b⃗ * с⃗ (распределительный закон).

4. (ka⃗) * b⃗ = k (a⃗ * b⃗) (сочетательный закон).

Длина окружности и площадь круга

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Формула для вычисления угла α_n правильного n-угольника:

α_n = n - 2 n * 180°

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Теорема: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия:

--- Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах

--- Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Теория по геометрии для 9 класса

Векторы

Векторная величина - физическая величина, которые характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве.